数学家发现自然界中常见的一类新形状

摘要:

数学家描述了一种新的形状,这种形状在自然界中很常见ーー从鹦鹉螺标志性的螺旋壳的腔室,到种子长成植物的方式。9月10日,相关论文发表于PNAS Nexus。

d41586-024-03099-6_27693142.webpd41586-024-03099-6_27693140.webp

这项工作考虑了“密铺”这一数学概念:形状如何在表面上镶嵌。自古以来,用相同的图形填充平面的问题已经得到了充分探索,以至于人们很容易认为已经没有什么可发现的了。但是,研究人员用一组新的具有圆角的几何图形推导出了密铺的原则,他们将其称为“软细胞”。

“简单来说,以前没有人这样做过。”未参与这项工作的美国国家数学博物馆数学家Chaim Goodman-Strauss说,“有这么多基本的事情需要考虑,真是令人惊讶。”

几千年来,人们已经知道,只有某些类型的多边形材料,如正方形或六边形,可以拼接在一起,以无缝填充2D空间。自20世纪80年代准晶体这种非周期性结构被发现以来,填充空间而没有规则重复排列的密铺,如彭罗斯密铺,引起了人们的兴趣。去年,Goodman Strauss和同事宣布了第一个只使用单一材料形状的准周期密铺,它缺乏任何真正的周期性。

匈牙利布达佩斯技术与经济大学数学家Gábor Domokos和同事重新研究了周期性的多边形密铺,但考虑了当一些角变圆时会发生什么。在二维空间中,并非所有的角都可以圆润化而不留下缝隙。但是,当一些角变形为“尖点形状”时,空间填充的密铺有了可能。这些角的内角为零——它们的边缘像泪滴一样切线相交,并且它们紧贴圆角。

Domokos及其同事设计了一种算法,可以将几何图块——二维多边形或三维多面体,如泡沫的气泡,平滑地转换为软细胞,并探索这些规则允许的可能形状的范围。在二维中,选择相当有限,所有图块必须至少有两个尖点状角。但在三维中,柔软度的引入会带来一些惊喜,特别是这些软细胞可以在没有任何角的情况下填充体积空间。

研究人员设计了一种定量测量这种填充空间的三维图形“柔软度”的方法,发现最柔软的不是紧凑的形状,而是在边缘发展出的法兰状的圆形“翅膀”,后者通常出现在马鞍状的瓷砖表面。最柔软的形状元素实际上是圆盘,近似法兰的三维图形。

Domokos认为,对于任何给定的初始多面体密铺,都有一个具有最大可能柔软度的唯一密铺。他还怀疑,在真实材料中,这个最优解将最大化与边缘弯曲能或界面张力有关的某些物理量。他承认,他和同事目前还没有证明这个最大柔软度猜想的证据,但他希望“某个更聪明的人能发现并证明它”。

研究人员在自然界中发现了软密铺,包括辫状河流中岛屿的二维形状、洋葱同心层的横截面和组织的生物细胞,以及鹦鹉螺等软体动物的螺旋壳的三维腔室。他们认为,大自然通常寻求避开角落,因为这样的拐角的变形能量成本很高,可能是结构弱点的来源。

Domokos说,研究鹦鹉螺“是这项工作的转折点”。在横截面上,其腔室看起来像有两个角的二维软细胞。但论文共同作者、布达佩斯技术与经济大学的Krisztina Reg?s怀疑实际的三维腔室根本没有角。“这听起来令人难以置信。”Domokos说,“但后来我们发现她是对的。”

Goodman-Strauss认为这项工作提供了一种“结构的描述性语言”,但可能尚未揭示自然界中形成此类结构的新的物理原理。他说,比如,要理解河岸,可能仍然需要从基本原理出发考虑物理过程,比如水流、沉积物运输和侵蚀的作用。

相关论文信息:https://doi.org/10.1093/pnasnexus/pgae311

查看评论
created by ceallan