在4月17号那一天, 一篇论文被投递到《数学年刊》——这一领域的最声名显赫的期刊——的信箱中. 论文的作者——新罕布什尔大学的讲师，年逾50的张益堂在该领域并不为其他的专家所知. 这篇论文声称其朝着解决数学史上最古老的问题——孪生素数问题前进了一大步。

那些著名的数学期刊的编辑早已习惯面对那些不知名作者夸大其词的主张。不过这篇论文却与众不同。写就其的作者，语言清晰严密并且掌握了该问题最前沿的方法。这显然是一份深思熟虑的证明，年刊的编辑决定优先进行它的审阅工作。

仅仅三周之后 —— 相对于数学期刊通常的审稿节奏，就是一眨眼的功夫 —— 张收到了他的论文的审稿意见。

“主要成果无疑是顶级的”, 一个审稿人写到。论文的作者证明了“关于素数分布的里程碑式的定理”。

一项巨大进展被一个之前默默无闻的研究者发现了——这个传闻在数学家里迅速传播来。他在1992获得博士学位之后，其学术才能就被人所忽视，找不到学术界的工作，当过几年会计，甚至在Subway干过。

“事实上，没人认识他。” Andrew Granville，蒙特利尔大学的数论研究者说，“现在，突然之间，他就做出了数论史上最重要的一个证明之一”。

哈佛大学的数学家们在5月13号急忙地为张安排了报告会，让他在众多的观众前展示自己的成果。当更多的细节浮出水面之时，很显然的是，张的成果并不是通过一个全新的方法得到的，而是坚持不懈地运用已有的方法。

“这个领域的专家早就已经尝试过使用这种方法”，Granville说。“他并不为人所知，但是那些专家都失败了，而他成功了”

关于“数对”的问题

素数——那些因数除了1就是他们本身的数们——就像代数的原子一样。从欧几里得——他在2000年前证明了素数有无穷多个——开始，它们就让无数数学家们为之倾倒。

因 为素数从根本上和乘法相关，理解他们和加法相关的性质就变得很困难。一些数学上最古老的未解之谜就和素数和加法相关，其中之一就是孪生素数猜想——存在无 限多组差为2的素数对。另一个则是哥德巴赫猜想，这个猜想提出所有的偶数都可以表示为两个素数之和（非常凑巧的是，后一个猜想的简化版本，在张在哈佛做报 告的时候，被巴黎高等师范学校的Harald Helfgott发布在网上的论文给解决了）。

在自然数列的起始部分存在着大量的素数，但是 随着数字变大，他们变得原来越稀少。举例来说，在前10个自然数里，40%都是素数——2，3，5和7——但是在所有的10位数里，仅有4%的数是素数。 在过去的一个世纪里，数学家们掌握了素数减少的规律：在大数中，连个素数之间的间隔大约是位数的2.3倍。举例说明，在100位的数中，两个素数的平均间 隔大约是230.

但是这只是平均而言。素数通常比平均预计的更加紧密的出现，或者相隔更远。具体来说，“孪生”素数通常扎堆出现，比如3和 5还有11和13，他们的差仅为2。而在大数中，孪生素数似乎从没有完全消失（目前发现的最大的孪生素数是3,756,801,695,685 x 2^666,669 – 1和3,756,801,695,685 x 2^666,669 + 1 ）。

数百年来，数学家都假设有无穷对孪生素数。1849年，法国数学家Alphonse de Polignac扩展了这个猜想，提出不仅仅是2，对于任意有限的间隔都存在着无穷多的素数对。

从那时开始，这些猜想的内在吸引力冠予了它们数学的圣杯的称号，虽然他们可能没有实际的应用。虽然有很多致力于证明其的尝试，数学家们还是不能排除素数的间隔会一直增长最终超过一个特定上限的可能。

现在张攻破了这道障碍。他的论文显示对于某一个小于7千万的数字N，存在无穷多的素数对，他们之间的差小于N。无论你在那些真正巨大素数的沙漠里面步行多久——不论这些素数变得多么的稀疏，你总会不听的发现差小于7千万的素数对。

这个结果“令人震惊”，San Jose州立大学的数论学者，Daniel Goldston说到。“它是那些问题中的一员，那些你之前以为可能永远都无法被解决的问题”。

素数的筛

张的证明建立在8年前的一篇论文之上。这篇论文被数论家们称为GPY，由他的三位作者的姓名的首字母命名。它非常的接近最终的结论，但是最后还是无法证明在有限的间隔下，存在无限多的素数。

这 篇论文的结论证明，总是存在素数对，他们的间隔小于平均的预计。说的更清楚一些，GPY证明对于你选择的任意一个分数，无论这个分数多么的小，总会存在一 组素数，他们之间的间隔小于这个分数乘以平均的间隔，如果数足够大的话。但是这些研究者不能证明这些间隔总是小于某一个特定的有限值。

GPY使用了一种被称为“筛法”的方法去过滤出那些比平均间隔更加接近的素数。从2000年的埃拉托色尼筛法——一种寻找素数的方法开始，筛法长时间以来一直被用于素数的研究之中。

使用埃拉托色尼筛法来寻找100以内的素数，我们从2开始，划掉100以内能被2整出的数。接着来到3，划掉所有能被3整除的数。4已经被划掉，所以你直接跳到5，划去所有能被5整出的数，以此类推。最后剩下的数就是素数。

埃拉托色尼筛在识别素数上表现完美，但是对于解决理论问题却过于笨重低效。在过去的一个世纪中，针对这些问题，数论家们发展出了一整套方法来提供近似的答案。

“埃拉托色尼筛的效果实在是太好了，”Goldston提到。“现代筛法放弃了完美的过滤”。

GPY设计了一种筛可以过滤出一连串的数，这些数中可能有潜在的素数对。为了从这些数中发现事实上的素数对，研究者们将他们的“筛”和一个函数结合起来，这个函数的有效性取决于一个被称为分布层级的系数，它用来衡量素数会以多快的速度开始显现出某些规律性。

这个分布层级系数被认为至少为1/2。这正好是GPY所采纳的系数，但是它无法证明在一个确定的间隔之内总是存在满足条件的素数对。GPY方法所使用的筛可以证明这个结论，但是需要这个系数被证明可以大于1/2.任何超过1/2的数都可以满足条件。

GPY定理“距离解决这个问题仅仅一个发丝的距离”，研究者们这样写到。

但 是随着更多的研究者试着解决这个困难，这个头发就变得原来越粗。在上世纪80年代，3个研究者——Enrico Bombieri，John Friedlander和Henryk Iwaniec——通过调整分布层级系数的定义，将其调整到4/7. 在05年GPY论文发表之后，研究者们努力的试着将这个调整定义之后的系数整合进GPY的框架之内，但是都无功而返。

“这个领域的大家尝试并且失败了，”Granville评论到.“我私下认为，没有人能在短时间内做到。”

跨越沟壑

与此同时，张一人孤军奋战，试图在GPY定理和孪生素数定理之间架起桥梁。作为一个中国移民，他从普度大学接受了博士学位。一直以来，他都对于数论充满兴趣，即使这不是他博士论文的题目。在那些困难的岁月，他无法获得一份学术界的工作，他依然继续紧跟该领域的进展。

“在你的整个事业里，有很多的机会，重要的是要保持思考”他说。张读到了GPY的论文，并且读到了那句关于GPY定理和孪生素数猜想仅有一发丝之遥的话。“那句话给了我非常深刻的印象”他说到。

没有和该领域的专家进行交流，张开始独自思考这个问题。可是经过了3年，他却没有一点儿进展。“我感到非常的疲惫”他说。

为了放松一下，上个夏天，张拜访了他在科罗拉多州的朋友。那里，6月3号，在他朋友的后院等待启程去演唱会的半个小时时间里，他突然想到了问题的答案。“我一下子就意识到这样可以行得通。”他说。

张的想法是不直接使用GPY筛而是对其进行修改。修改后的筛，不会对每一个数都进行过滤，而仅仅是那些没有大的质因数的数。

“他发明的筛并不是那么的完善因为你并没有用上所有你可以用来过滤的东西，”Goldston说，”但是，虽然没那么有效，这却给了他灵活性，让结论能够成立“。

虽 然新发明的筛可以使得张能够证明存在无限多组素数对差不超过7千万，使用他的方法证明孪生素数猜想却不大可能，Goldston说到。即使在对于分布层级 系数最强的假设条件之下，他说，通过GPY方法所能得到的最好的结果也是存在无穷多的素数对他们的差不超过16或更少。

但是Granville却认为，数学家们不能提前排除使用这些方法来证明孪生素数猜想的可能性。

”这次的发现是革命性的，并且一些时候当一个新的证明出现，之前被认为非常困难的问题，被发现仅仅是其一个细微的扩展“他说。”现在开始，我们需要研究这篇论文，看能从种发现些什么“。

张花费了数月的时间来完善所有的细节，但是最终的论文却是清晰阐述的典范，Granville评价道。”他顾及到了每一个细节，让人无从质疑，丝毫也不含糊。“

在张收到了审稿意见以后，事件被飞速公布出来。演讲的邀请纷至沓来。”我认为大家对于一个默默无闻的人能做到这一点感到相当的兴奋“Granville说。

对于张——一个自己评价自己很害羞的人来说，成为聚光灯的焦点有点儿不舒服。”我不禁自问，‘为什么一切来的这么之快？’“他说。”一些时候，这令人感到困惑“。

张在他的哈佛的演讲上却一点儿都没有胆怯。演讲以其清晰性被出席者所称道。”当我做演讲并且专注于数学时，我就把害羞丢在脑后了“他说。

张提到，他对于他之前相对默默无闻的学术生涯一点儿也没感觉怨恨。”我的心态很平和。我不是特别在乎钱，或者荣誉“他说。”我渴望安静和一个人工作“。

与此同时，张已经开始了他的下一个计划，他拒绝更加详细的透露。“希望能取得不错的结果”，他说。