数学难题被攻下 23年来首次突破

摘要:

陶哲轩和赵宇飞的学生联手,给数学界整了个新惊喜:让组合数学领域最大难题之一——从无序中证明有序,取得了23年来的重大突破。这个问题有多难?用知名华裔数学家、MIT副教授赵宇飞本人的话说,是“我不会建议任何学生去做这个课题”。


有意思的是,这甚至还是个“意外”收获:

陶哲轩弟子、刚上研究生二年级的James Leng(以下简称小冷)原本试图延续另一位菲尔兹奖得主——蒂莫西·高尔斯的理论研究。

但搞了一年多,他几乎是“一无所获”。

就在一筹莫展之时,他遇上了赵宇飞的两位天才学生——本科期间就联手发了十几篇论文的Ashwin Sah(以下简称小萨)和Mehtaab Sawhney(以下简称索哥)。

三人一碰头,顿时灵光乍现:小冷这研究思路用到塞迈雷迪定理上,那说不定真能整出点新进展。

几个月后,都还在攻读博士学位的三个年轻人真的做到了——

23年首次突破组合数学难题

小冷、小萨和索哥的这项研究,是组合数学领域的一大难题,是对塞迈雷迪定理的进一步研究。

塞迈雷迪定理由2012年阿贝尔奖得主、匈牙利数学家塞迈雷迪·安德烈(Szemerédi Endre,注:匈牙利人的习惯是姓前名后)于1975年证明,其中说到:

若一个整数集A具有正的自然密度,则对任意的正整数k,都可以在A中找出一个包含k项的等差数列。

所谓具有正自然密度,就是当n趋于无穷时,A与1,2,…,n这个数列的交集中元素个数与n的比值大于0。

比较著名的反例就是2,4,8…这样的等比数列,它们被认为在数轴上“过于稀疏”,不具备正自然数密度。


这个理论的猜想由两名匈牙利数学家埃尔德什·帕尔(Erdős Pál)和图兰·帕尔(Turán Pál)在1936年提出。

显然对于k=1和2的情况,这个结论毫无疑问是成立的,k=3的情况则在1953年由英国数学家克劳斯·罗特证明。

到了1969年,塞迈雷迪用组合数学方法证明了k=4的情况,直到最终证明该结论对任意k均成立。


后来,又有数学家利用遍历理论、傅里叶分析等其他方法证明了这一结论。

这也让陶哲轩为之感慨,还把该定理的众多证明称为“罗塞塔石碑”,因为它们连结了几个乍看起来完全不同的数学分支。

但总之,塞迈雷迪定理的证明并不是一个终点,而且还开启了新的讨论。

塞迈雷迪定理还有另一种表述形式——

若在正整数1-N中取一个子集,使得对于某一k值,在该子集中找不到长度为k的等差数列;

则当N趋近于无穷时,该子集的大小r_k(N)与N的比值趋近于0。

不过这个比值趋近于0的速度究竟是怎样的,仍然是一个未知数,也就成了后续这几十年的研究课题。

前面提到,有人用傅里叶分析方法给出了塞迈雷迪定理的新证明,这个人就是1998年菲尔兹奖得主、英国数学家蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)。


更重要的是,高尔斯同时给出了r_k(N)与N比值的上界,即该比值下降的速度不会慢于某个特定的函数。

这个函数长这样:


此后的20多年来,不断有人针对具体k值,对r(N)的范围给出了更精确的上界。

比如在2017年,陶哲轩和英国数学家本·格林(Ben Green)一起给出了k=4时的新上界。


然而,对k取任意值的情况一直未有新的进展,直到这次研究的出现。

2022年,正在加州大学洛杉矶分校(UCLA)读研二的小冷开始研究起了高尔斯的理论。

不过他脑海里的是高尔斯提出的几个技术问题,并没有想到塞迈雷迪定理。

一年很快过去,小冷没有得到任何成果,但他的研究引起了小萨和索哥的注意。

他们意识到,小冷的研究可能有助于在塞迈雷迪定理上取得进一步进展。

于是三位年轻的数学家走到了一起,并在几个月之内就想出了k=5时更精确的上界。


直到今年,三人又把这一结论推广到了k为任意取值的情况,成为了23年以来在这个问题上最重大的突破。

证明的核心在于应用了高尔斯U^(k+1)范数的逆定理,这是一个与傅里叶分析相关的高级工具,它提供了一种衡量函数在某种意义上接近于零的方法。

该逆定理也是由三人发现的,用了足足100页的论文进行阐述。

其中指出,如果一个函数在范数意义上足够大,那么它必然与某些具有特定结构的序列相关联,这些序列在数学上被称为“结构性对象”。


利用这个逆定理,作者们将问题从原始的整数集合,转移到了具有特定代数结构的nilmanifolds流形上。

通过深入分析这些流形上的nil序列,作者们实现了对这些序列在整数集合上变化的控制。

然后,他们通过对集合进行分解并运用密度增量策略,逐步增加不包含k项等差数列的子集密度,直到达到某一阈值或无法继续增加。

经过迭代这个过程,作者们证明了存在一个足够大的子集,其密度远高于之前的结果,实现了k=5时结论向着更高k值的推广。

陶哲轩赵宇飞的天才学生们

三位作者中,小冷(James Leng)目前就读于加州大学洛杉矶分校(UCLA),师从菲尔兹奖得主陶哲轩。

他的主要研究方向是算术组合学、动力系统和傅里叶分析。


而小萨(Ashwin Sah)和索哥(Mehtaab Sawhney)都是MIT副教授赵宇飞的学生。

小萨其人,不可谓不是一位“天才少年”。

他是2016年国际奥林匹克数学竞赛(IMO)金牌得主,2018年还获得过首届阿里巴巴全球数学竞赛银奖。

刚上大一,小萨就跑去听了赵宇飞研究生级别的组合数学课。这迅速引起了赵宇飞的注意:

尽管他只是大一的学生,但很显然,他已经掌握了这门课程。


就在本科期间,小萨已经有20多篇数学论文在手——并且他只用了两年半时间就从MIT本科毕业了。

其中,还包括在拉姆齐数方面的重大突破:给出了拉姆齐数的新上限,被认为是“使用现有研究线索可以获得的最佳结果”。

索哥(Mehtaab Sawhney)比小萨高一年级,他同样在本科期间就参与了赵宇飞的组合数学课程。


打从本科起,索哥和小萨就是彼此的科研搭子,关系密切到索哥主页列出的70篇论文里,有60篇都带小萨的名字。

而导师赵宇飞在本科时对他俩的评价就是:

(MIT)的本科生研究有着悠久的历史和传统,但在论文的质量和数量上,都达不到Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。

目前,索哥已经率先博士毕业,获得了哥伦比亚大学的教职,还在今年年初被任命为克莱研究员。


△小萨索哥和赵宇飞合影,图源:MIT

两位老友的合作仍在继续,这也令外界感到期待。他们的导师赵宇飞是这样说的:

他们的非凡之处在于总能理解极具技术挑战的事物并加以改进。

很难用语言概括他们的整体成就。

参考链接:

[1]https://arxiv.org/abs/2402.17995

[2]https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/

[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di%27s_theorem

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